文章 | 一个有趣的概率论佯谬

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本文首发于知乎。

晚上和同学讨论概率论的时候，发现了一个有趣的佯谬：

可以在 (0, 1) 内等概率选取一个实数，但不能在其中等概率选取一个有理数。

乍一看很反直觉，明明实数比有理数多，为什么选有理数就选不出来呢？

其实答案很简单。关键在于如何理解「等概率」。

省流版

省流版：实数的等概率分布只需要概率密度函数为常数；而有理数是可列集，等概率要求每个点都有相等的确定的概率。

好，文章到此结束。

如果你觉得还没结束，那就继续往后看吧。

让我们先来看一个更直观的问题：能否等概率地从自然数中选取一个数？

直观来看好像不行。因为自然数有无穷多个，如果等概率选取，那么每个数被选到的概率都是零，这好像不太合理。

为了解决这个问题，先来复习一下概率的公理化定义：

记样本空间为 $\Omega$ ， $\mathscr{F}$ 是 $\Omega$ 上的一个 σ 代数，若存在函数 $P: \mathscr{F} \to \mathbb{R}$ ，使得

$\forall A \in \mathscr{F}, P(A) \ge 0$ ；
$P(\Omega)=1$ ；
任给可数个 $A_1,A_2,\ldots \in \mathscr{F}$ ，若两两不交，则 $\displaystyle P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$ 。则称 $P$ 为 $\mathscr{F}$ 上的一个概率测度。

重点在第三条（可数可加性）。假设存在一个等概率选取的方式，选到每一个数的概率都是 $p$ ，那么为了保证 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty P(\{i\})=\sum_{i=1}^\infty p$ 收敛，必须有 $p=0$ 。

但同时，根据第二条， $\displaystyle P(\mathbb{N})=P\left(\bigcup_{i=1}^\infty \{i\}\right)=\sum_{i=1}^\infty P(\{i\})$ ，这个式子左边为 1，右边为 0，矛盾。

事实上，在区间 (0, 1) 内等概率选取一个有理数与之前提到的等概率选取自然数是等价的。有理数也是可列集，但从一个无限可列集合中等概率选取一个元素，意味着需要将每个元素的概率为零的点相加，以获得总体概率为 1，而这对于任何无限可列集合都是不可能实现的。

那么，实数的情形又是怎样呢？

实数与有理数的根本区别在于实数是不可列集。这意味着，虽然存在一系列概率为 0 的点，但它们可以组合成一个概率大于 0 的事件。然而，由于实数集是不可列的，因此这种组合过程不能简单地用加法描述，而需要使用积分。积分的一个重要特征是它可以将零值变成非零值。

这也表明，我们需要重新思考「等概率」的含义。由于几乎所有单点处的概率都为零，因此对于任何一种概率分布，单点的概率相等是一个自然的条件，并不能提供更多信息。

为了简化问题，我们只考虑 Borel 集。在 Borel 集上，「等概率」实际上指的是「平移性」。我们要求长度相同的区间具有相等的概率。例如，下面的条件就给出了很强的平移性要求：

设 $\mathscr{B}$ 是 (0, 1) 上的 Borel 集， $P:\mathscr{B}\to\mathbb{R}$ 是 $\mathscr{B}$ 上的概率测度。任取 $0\le l<a<b<1$ ，要求有 $P([a,b])=P([a-l,b-l])$ 。

这个条件要求，只要区间长度相同，无论长度具体是多少，它们都应该具有相等的概率。符合这个条件的概率分布被认为是「等概率」的。

实际上，「等概率」的定义并不是严格唯一的。在某些情况下，只要满足一些较弱的条件，也可以被称为等概率。

用概率密度函数可以很容易给出一个等概率的分布，只需要令 $f(x)=1, x\in (0,1)$ ，就可以得到 (0, 1) 上的一个等概率分布。

在这种分布下，对于长度为 $l$ 的区间，始终有 $P([a, a+l])=\displaystyle \int_a^{a+l} f(x)\mathrm{d}x=l$ ，概率只与区间长度有关，因此是等概率分布。

问题一：既然在区间 (0, 1) 内等概率选取一个实数是可行的，那么在全体实数内等概率选取一个实数是否也可行呢？

问题二：下面是一段尝试等概率选取有理数的程序：

function sample_rational() {
  do {
    a = sample() // 等概率随机选取 (0,1) 内的一个实数
  } while (!is_rational(a)) // 直到生成有理数
  return a // 返回等概率选取的有理数
}

这段程序与文章最开始的判断矛盾吗？

这篇文章使用了 AI 辅助创作，文章中的一些语句经过 ChatGPT 的修改和优化。